Løs 2x-3/x+1+x-3/x-1=2

$$\frac { 2 x - 3 } { x + 1 } + \frac { x - 3 } { x - 1 } = 2$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 7}{2} \approx 6,701562119$$

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}\approx 0,298437881$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner -5x og -2x for at få -7x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 3 fra 3 for at få 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-1.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Kombiner 3x^{2} og -2x^{2} for at få x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$x^{2}-7x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -7 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2}}{2}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8}}{2}$$

Adder 49 til -8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{41}}{2}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{41}}{2} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{41}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{41} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner -5x og -2x for at få -7x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 3 fra 3 for at få 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-1.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Kombiner 3x^{2} og -2x^{2} for at få x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-2+\frac{49}{4}$$

Adder -2 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{41}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$