Løs 2x-3/x+1+2x-5/x-1=2

$$\frac { 2 x - 3 } { x + 1 } + \frac { 2 x - 5 } { x - 1 } = 2$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=0$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(2x-5\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(2x-5\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2x-5, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+2x^{2}-3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og 2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}-5x+3-3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner -5x og -3x for at få -8x.

$$4x^{2}-8x+3-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 5 fra 3 for at få -2.

$$4x^{2}-8x-2=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-1.

$$4x^{2}-8x-2=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$4x^{2}-8x-2=2x^{2}-2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}-8x-2-2x^{2}=-2$$

Kombiner 4x^{2} og -2x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x-2=-2$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$2x^{2}-8x-2+2=0$$

Tilføj -2 og 2 for at få 0.

$$2x^{2}-8x=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -8 med b og 0 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af \left(-8\right)^{2}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8}{2\times 2}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±8}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{8±8}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±8}{4} når ± er plus. Adder 8 til 8.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divider 16 med 4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±8}{4} når ± er minus. Subtraher 8 fra 8.

$$x=\frac{0}{4}$$

Divider 0 med 4.

$$x=0$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=0$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(2x-5\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2x-3, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(2x-5\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2x-5, og kombiner ens led.

$$2x^{2}-5x+3+2x^{2}-3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x^{2} og 2x^{2} for at få 4x^{2}.

$$4x^{2}-5x+3-3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner -5x og -3x for at få -8x.

$$4x^{2}-8x+3-5=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 5 fra 3 for at få -2.

$$4x^{2}-8x-2=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x-1.

$$4x^{2}-8x-2=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$4x^{2}-8x-2=2x^{2}-2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}-8x-2-2x^{2}=-2$$

Kombiner 4x^{2} og -2x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x-2=-2$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$2x^{2}-8x=-2+2$$

Tilføj -2 og 2 for at få 0.

$$2x^{2}-8x=0$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{0}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{0}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$x^{2}-4x=\frac{0}{2}$$

Divider 0 med 2.

$$x^{2}-4x=0$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=4$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-2=2 x-2=-2$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=0$$