Løs 2/x-2+3/x+1=1

$$\frac { 2 } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 1 } = 1$$

Løs for x

$$x=\sqrt{7}+3\approx 5,645751311$$

$$x=3-\sqrt{7}\approx 0,354248689$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 3.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og 3x for at få 5x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 6 fra 2 for at få -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Tilføj x på begge sider.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Kombiner 5x og x for at få 6x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$6x-4-x^{2}+2=0$$

Tilføj -4 og 2 for at få -2.

$$6x-2-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+6x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 6 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 36 til -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 28.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2} når ± er plus. Adder -6 til 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Divider -6+2\sqrt{7} med -2.

$$x=3-\sqrt{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{7} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Divider -6-2\sqrt{7} med -2.

$$x=\sqrt{7}+3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3-\sqrt{7} x=\sqrt{7}+3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 3.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og 3x for at få 5x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Subtraher 6 fra 2 for at få -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x+1, og kombiner ens led.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Tilføj x på begge sider.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Kombiner 5x og x for at få 6x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$6x-x^{2}=-2+4$$

Tilføj -2 og 4 for at få 2.

$$6x-x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+6x=2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Divider 6 med -1.

$$x^{2}-6x=\frac{2}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-6x=-2$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-2+9$$

Adder -2 til 9.

$$x^{2}-6x+9=7$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=7$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Forenkling.

$$x-3=\sqrt{7} x-3=-\sqrt{7}$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$