Løs 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for at få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraher 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for at få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+12. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=12 b=-1$$

Omskriv -x^{2}+11x+12 som \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Løs x-12=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=12 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for at få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraher 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for at få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 11 med b og 12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 121 til 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±13}{-2} når ± er plus. Adder -11 til 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±13}{-2} når ± er minus. Subtraher 13 fra -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divider -24 med -2.

$$x=12$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=12$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombiner 2x og x\times 15 for at få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraher 6x fra begge sider.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 17x og -6x for at få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Subtraher 12 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$11x-x^{2}=-12$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Divider 11 med -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Divider -12 med -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Divider -11, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Adder 12 til \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{11}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=12 x=-1$$