Løs 140/x-1-144/x=2

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 144x-144 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner x\times 140 og -144x for at få -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner -4x og 2x for at få -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Divider begge sider med 2.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-x+72=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+72. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=8 b=-9$$

Omskriv -x^{2}-x+72 som \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Udx i den første og 9 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

Løs -x+8=0 og x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-9$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 144x-144 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner x\times 140 og -144x for at få -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner -4x og 2x for at få -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, -2 med b og 144 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 4 til 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 1156.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±34}{-4} når ± er plus. Adder 2 til 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Divider 36 med -4.

$$x=-9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±34}{-4} når ± er minus. Subtraher 34 fra 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Divider -32 med -4.

$$x=8$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-9 x=8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 144x-144 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner x\times 140 og -144x for at få -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner -4x og 2x for at få -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Subtraher 144 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Divider -2 med -2.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Divider -144 med -2.

$$x^{2}+x=72$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Adder 72 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=8 x=-9$$