Løs 1-i/sqrt{2-i}

$$\frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } - i }$$

Evaluer

$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i\right)\approx 0,804737854-0,138071187i$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{1-i}{\sqrt{2}-i} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{2}+i.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{\left(\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{2}-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-i\right)^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{2}. Kvadrér -i.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{2+1}$$

Subtraher -1 fra 2 for at få 3.

$$\frac{\left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)}{3}$$

Divider \left(1-i\right)\left(\sqrt{2}+i\right) med 3 for at få \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\left(\sqrt{2}+i\right).

$$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\left(\sqrt{2}+i\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{1}{3}-\frac{1}{3}i med \sqrt{2}+i.

$$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\sqrt{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i\right)$$

Reel del

$$\frac{\sqrt{2} + 1}{3} = 0,8047378541243649$$