Løs 1/x+1/x+18-1/12=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Løs for x

$$x=-12$$

$$x=18$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -18,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 12x\left(x+18\right), det mindste fælles multiplum af x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombiner 12x og 12x for at få 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplicer 12 og -\frac{1}{12} for at få -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombiner 24x og -18x for at få 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+216. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -216.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

Løsningen er det par, der får summen 6.

$$a=18 b=-12$$

Omskriv -x^{2}+6x+216 som \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right).

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

Ud-x i den første og -12 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-18 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

Løs x-18=0 og -x-12=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=18 x=-12$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -18,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 12x\left(x+18\right), det mindste fælles multiplum af x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombiner 12x og 12x for at få 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplicer 12 og -\frac{1}{12} for at få -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombiner 24x og -18x for at få 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 6 med b og 216 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 36 til 864.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 900.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±30}{-2} når ± er plus. Adder -6 til 30.

$$x=\frac{24}{-2}$$

Divider 24 med -2.

$$x=-12$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±30}{-2} når ± er minus. Subtraher 30 fra -6.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

Divider -36 med -2.

$$x=18$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-12 x=18$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -18,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 12x\left(x+18\right), det mindste fælles multiplum af x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombiner 12x og 12x for at få 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplicer 12 og -\frac{1}{12} for at få -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombiner 24x og -18x for at få 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Subtraher 216 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$6x-x^{2}=-216$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+6x=-216$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

Divider 6 med -1.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

Divider -216 med -1.

$$x^{2}-6x=216$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

Adder 216 til 9.

$$x^{2}-6x+9=225$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Forenkling.

$$x-3=15 x-3=-15$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=18 x=-12$$