Løs 1/4-y=1/4+1/y+2

$$\frac { 1 } { 4 - y } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { y + 2 }$$

Løs for y

$$y=-8$$

$$y=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen y må ikke være lig med en af følgende værdier -2,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(y-4\right)\left(y+2\right), det mindste fælles multiplum af 4-y,4,y+2.

$$-8-4y=4\left(y-4\right)\left(y+2\right)\times \frac{1}{4}+4y-16$$

Multiplicer 4 og \frac{1}{4} for at få 1.

$$-8-4y=\left(y-4\right)\left(y+2\right)+4y-16$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y-4 med y+2, og kombiner ens led.

$$-8-4y=y^{2}-2y-8+4y-16$$

Kombiner -2y og 4y for at få 2y.

$$-8-4y=y^{2}+2y-8-16$$

Subtraher 16 fra -8 for at få -24.

$$-8-4y=y^{2}+2y-24$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$-8-4y-y^{2}=2y-24$$

Subtraher 2y fra begge sider.

$$-8-4y-y^{2}-2y=-24$$

Kombiner -4y og -2y for at få -6y.

$$-8-6y-y^{2}=-24$$

Tilføj 24 på begge sider.

$$-8-6y-y^{2}+24=0$$

Tilføj -8 og 24 for at få 16.

$$16-6y-y^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-y^{2}-6y+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -6 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -6.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 16}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 16.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 36 til 64.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±10}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$y=\frac{6±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$y=\frac{6±10}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{6±10}{-2} når ± er plus. Adder 6 til 10.

$$y=\frac{16}{-2}$$

Divider 16 med -2.

$$y=-8$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{6±10}{-2} når ± er minus. Subtraher 10 fra 6.

$$y=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$y=2$$

Ligningen er nu løst.

$$y=-8 y=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen y må ikke være lig med en af følgende værdier -2,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(y-4\right)\left(y+2\right), det mindste fælles multiplum af 4-y,4,y+2.

$$-8-4y=4\left(y-4\right)\left(y+2\right)\times \frac{1}{4}+4y-16$$

Multiplicer 4 og \frac{1}{4} for at få 1.

$$-8-4y=\left(y-4\right)\left(y+2\right)+4y-16$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y-4 med y+2, og kombiner ens led.

$$-8-4y=y^{2}-2y-8+4y-16$$

Kombiner -2y og 4y for at få 2y.

$$-8-4y=y^{2}+2y-8-16$$

Subtraher 16 fra -8 for at få -24.

$$-8-4y=y^{2}+2y-24$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$-8-4y-y^{2}=2y-24$$

Subtraher 2y fra begge sider.

$$-8-4y-y^{2}-2y=-24$$

Kombiner -4y og -2y for at få -6y.

$$-8-6y-y^{2}=-24$$

Tilføj 8 på begge sider.

$$-6y-y^{2}=-24+8$$

Tilføj -24 og 8 for at få -16.

$$-6y-y^{2}=-16$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-y^{2}-6y=-16$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-y^{2}-6y}{-1}=-\frac{16}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)y=-\frac{16}{-1}$$

Divider -6 med -1.

$$y^{2}+6y=-\frac{16}{-1}$$

Divider -16 med -1.

$$y^{2}+6y=16$$

Divider 6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 3. Adder derefter kvadratet af 3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}+6y+3^{2}=16+3^{2}$$

Kvadrér 3.

$$y^{2}+6y+9=16+9$$

Adder 16 til 9.

$$y^{2}+6y+9=25$$

Faktor y^{2}+6y+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y+3\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y+3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$y+3=5 y+3=-5$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$y=2 y=-8$$