Løs 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Løs for x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{3} med a, 6 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer -\frac{4}{3} gange -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Adder 36 til 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Tag kvadratroden af 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} når ± er plus. Adder -6 til 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Divider -6+4\sqrt{3} med \frac{2}{3} ved at multiplicere -6+4\sqrt{3} med den reciprokke værdi af \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{3} fra -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Divider -6-4\sqrt{3} med \frac{2}{3} ved at multiplicere -6-4\sqrt{3} med den reciprokke værdi af \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Multiplicer begge sider med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Division med \frac{1}{3} annullerer multiplikationen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Divider 6 med \frac{1}{3} ved at multiplicere 6 med den reciprokke værdi af \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Divider 9 med \frac{1}{3} ved at multiplicere 9 med den reciprokke værdi af \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Divider 18, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 9. Adder derefter kvadratet af 9 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Kvadrér 9.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Adder 27 til 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Faktor x^{2}+18x+81. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Forenkling.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$