Løs frac{1+sqrt{5}}{sqrt{5}-2}

$$\frac { 1 + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } - 2 }$$

Evaluer

$$3\sqrt{5}+7\approx 13,708203932$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{5}+2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}$$

Overvej \left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kvadrér \sqrt{5}. Kvadrér 2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{5-4}$$

Subtraher 4 fra 5 for at få 1.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{1}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 1+\sqrt{5} med hvert led i \sqrt{5}+2.

$$\sqrt{5}+2+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\sqrt{5}+2+5+2\sqrt{5}$$

Tilføj 2 og 5 for at få 7.

$$\sqrt{5}+7+2\sqrt{5}$$

Kombiner \sqrt{5} og 2\sqrt{5} for at få 3\sqrt{5}.

$$3\sqrt{5}+7$$