Løs (x-2)/(x-3)-(x-4)/(x-5)=10/3

$$\frac { ( x - 2 ) } { ( x - 3 ) } - \frac { ( x - 4 ) } { ( x - 5 ) } = \frac { 10 } { 3 }$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4\approx 4,632455532$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4\approx 3,367544468$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 3,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3\left(x-5\right)\left(x-3\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-5,3.

$$\left(3x-15\right)\left(x-2\right)-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-15 med x-2, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-9 med x-4, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x^{2}-21x+36\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

For at finde det modsatte af 3x^{2}-21x+36 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x^{2}-21x+30-3x^{2}+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Kombiner 3x^{2} og -3x^{2} for at få 0.

$$-21x+30+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Kombiner -21x og 21x for at få 0.

$$30-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Subtraher 36 fra 30 for at få -6.

$$-6=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10 med x-5.

$$-6=\left(10x-50\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10x-50 med x-3, og kombiner ens led.

$$-6=10x^{2}-80x+150$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$10x^{2}-80x+150=-6$$

Tilføj 6 på begge sider.

$$10x^{2}-80x+150+6=0$$

Tilføj 150 og 6 for at få 156.

$$10x^{2}-80x+156=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, -80 med b og 156 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 10\times 156}}{2\times 10}$$

Kvadrér -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 10\times 156}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-40\times 156}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange 156.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6240}}{2\times 10}$$

Adder 6400 til -6240.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{160}}{2\times 10}$$

Tag kvadratroden af 160.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±4\sqrt{10}}{2\times 10}$$

Det modsatte af -80 er 80.

$$x=\frac{80±4\sqrt{10}}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20} når ± er plus. Adder 80 til 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+80}{20}$$

Divider 80+4\sqrt{10} med 20.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{80±4\sqrt{10}}{20} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{10} fra 80.

$$x=\frac{80-4\sqrt{10}}{20}$$

Divider 80-4\sqrt{10} med 20.

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4 x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 3,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 3\left(x-5\right)\left(x-3\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-5,3.

$$\left(3x-15\right)\left(x-2\right)-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-15 med x-2, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x-9\right)\left(x-4\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-9 med x-4, og kombiner ens led.

$$3x^{2}-21x+30-\left(3x^{2}-21x+36\right)=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

For at finde det modsatte af 3x^{2}-21x+36 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x^{2}-21x+30-3x^{2}+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Kombiner 3x^{2} og -3x^{2} for at få 0.

$$-21x+30+21x-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Kombiner -21x og 21x for at få 0.

$$30-36=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Subtraher 36 fra 30 for at få -6.

$$-6=10\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10 med x-5.

$$-6=\left(10x-50\right)\left(x-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 10x-50 med x-3, og kombiner ens led.

$$-6=10x^{2}-80x+150$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$10x^{2}-80x+150=-6$$

Subtraher 150 fra begge sider.

$$10x^{2}-80x=-6-150$$

Subtraher 150 fra -6 for at få -156.

$$10x^{2}-80x=-156$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10x^{2}-80x}{10}=-\frac{156}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{10}\right)x=-\frac{156}{10}$$

Divider -80 med 10.

$$x^{2}-8x=-\frac{156}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-156}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-8x=-\frac{78}{5}$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{78}{5}+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{78}{5}+16$$

Adder -\frac{78}{5} til 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{2}{5}$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{2}{5}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}$$

Forenkling.

$$x-4=\frac{\sqrt{10}}{5} x-4=-\frac{\sqrt{10}}{5}$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{5}+4 x=-\frac{\sqrt{10}}{5}+4$$