Løs frac{sqrt{5}div[sqrt{8}+sqrt{5}]}{sqrt{8}-sqrt{5}}

$$\frac { \sqrt { 5 } \div [ \sqrt { 8 } + \sqrt { 5 } ] } { \sqrt { 8 } - \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745355992$$

Løsningsvejledning

Faktoriser 8=2^{2}\times 2. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2^{2}\times 2} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Tag kvadratroden af 2^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Rationaliser \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2\sqrt{2}-\sqrt{5}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Overvej \left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Udvid \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{4\times 2-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{8-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{8-5}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Subtraher 5 fra 8 for at få 3.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$$

Faktoriser 8=2^{2}\times 2. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{2^{2}\times 2} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Tag kvadratroden af 2^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}$$

Udtryk \frac{\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}} som en enkelt brøk.

$$\frac{\sqrt{5}\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{3\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}$$

Udlign -\sqrt{5}+2\sqrt{2} i både tælleren og nævneren.

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$