Løs frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Løs for b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Vejledning i at løse lineær ligning

Rationaliser \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} ved at multiplicere tælleren og nævneren med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Overvej \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrér \sqrt{3}. Kvadrér 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Multiplicer \sqrt{3}-1 og \sqrt{3}-1 for at få \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Tilføj 3 og 1 for at få 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Divider hvert led på 4-2\sqrt{3} med 2 for at få 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Subtraher a fra begge sider.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Ligningen er nu i standardform.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Divider begge sider med \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Division med \sqrt{3} annullerer multiplikationen med \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Divider -\sqrt{3}-a+2 med \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Løs for a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$