Løs cosh

$$\cos h$$

Differentier w.r.t. h

$$-\sin(h)$$

Vejledning i brug af definition af en afledning

For en funktion f\left(x\right) er afledningen lig med grænsen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} med h gående mod 0, hvis denne grænse findes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\cos(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h+t)-\cos(h)}{t}\right)$$

Brug sumformlen for cosinus.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t+h)-\cos(h)}{t}$$

Udfaktoriser \cos(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h)\left(\cos(t)-1\right)-\sin(h)\sin(t)}{t}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Brug det faktum, at h er en konstant, når der beregnes grænser med t gående mod 0.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Grænsen \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} er 1.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)$$

Hvis du vil evaluere grænsen \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, skal du først multiplicere tælleren og nævneren med \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Multiplicer \cos(t)+1 gange \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Brug Pythagoras-identiteten.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Grænsen \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} er 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Brug det faktum, at \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} er kontinuerlig ved 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Substituer værdien 0 i udtrykket \cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h).

$$-\sin(h)$$

Evaluer

$$\cos(h)$$