Datrys 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Datrys ar gyfer x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 24x^{2}+ax+bx+21. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn negatif, mae a a b ill dau yn negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -65.

$$a=-56 b=-9$$

Ailysgrifennwch 24x^{2}-65x+21 fel \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Ni ddylech ffactorio 8x yn y cyntaf a -3 yn yr ail grŵp.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin 3x-7 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch 3x-7=0 a 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 24 am a, -65 am b, a 21 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Sgwâr -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Lluoswch -4 â 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Lluoswch -96 â 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Adio 4225 at -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Cymryd isradd 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Gwrthwyneb -65 yw 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Lluoswch 2 â 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{65±47}{48} pan fydd ± yn plws. Adio 65 at 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{112}{48} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{65±47}{48} pan fydd ± yn minws. Tynnu 47 o 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{18}{48} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Mae tynnu 21 o’i hun yn gadael 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Mae rhannu â 24 yn dad-wneud lluosi â 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-21}{24} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Rhannwch -\frac{65}{24}, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{65}{48}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{65}{48} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{65}{48} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Adio -\frac{7}{8} at \frac{4225}{2304} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Ffactora x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Symleiddio.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Adio \frac{65}{48} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$