Datrys {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+2y=-33$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-2y-33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

Amnewid \frac{-2y-33}{7} am x yn yr hafaliad arall, x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

Adio -\frac{2y}{7} at 9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

Adio \frac{33}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{61}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

Lluoswch -\frac{2}{7} â 8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

Adio -\frac{33}{7} at -\frac{16}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-7,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

I wneud 7x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

Symleiddio.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

Tynnwch 7x+63y=455 o 7x+2y=-33 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

Adio 7x at -7x. Mae'r termau 7x a -7x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-63y=-33-455$$

Adio 2y at -63y.

$$-61y=-33-455$$

Adio -33 at -455.

$$-61y=-488$$

Rhannu’r ddwy ochr â -61.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x+9y=65. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+9\times 8=65$$

Lluoswch 9 â 8.

$$x+72=65$$

Tynnu 72 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=8$$