Datrys {l}{2x+y=18}{5x+2y=40}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + y = 18 }\\{ 5 x + 2 y = 40 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=18$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Amnewid -\frac{y}{2}+9 am x yn yr hafaliad arall, 5x+2y=40.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=40$$

Lluoswch 5 â -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{5}{2}y+45+2y=40$$

Adio -\frac{5y}{2} at 2y.

$$-\frac{1}{2}y+45=40$$

Tynnu 45 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x=-\frac{1}{2}y+9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 10+9$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 10.

$$x=-5+9$$

Adio 9 at -5.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 18+40\\5\times 18-2\times 40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 18,2\times 5x+2\times 2y=2\times 40$$

Symleiddio.

$$10x+5y=90,10x+4y=80$$

Tynnwch 10x+4y=80 o 10x+5y=90 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+5y-4y=90-80$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-4y=90-80$$

Adio 5y at -4y.

$$y=90-80$$

Adio 90 at -80.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn 5x+2y=40. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+2\times 10=40$$

Lluoswch 2 â 10.

$$5x+20=40$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=10$$