Datrys {r}{7x+4y=16}{+-4x-4y=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 4 y = 16 } \\ { + - 4 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+4y=16,-4x-4y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+4y=16$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-4y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -4y+16.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{16}{7}$$

Amnewid \frac{-4y+16}{7} am x yn yr hafaliad arall, -4x-4y=4.

$$-4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{16}{7}\right)-4y=4$$

Lluoswch -4 â \frac{-4y+16}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{64}{7}-4y=4$$

Adio \frac{16y}{7} at -4y.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{64}{7}=4$$

Adio \frac{64}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{12}{7}y=\frac{92}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{12}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{3} am y yn x=-\frac{4}{7}y+\frac{16}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{16}{7}$$

Lluoswch -\frac{4}{7} â -\frac{23}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{92}{21}+\frac{16}{7}$$

Adio \frac{16}{7} at \frac{92}{21} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{20}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{20}{3},y=-\frac{23}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+4y=16,-4x-4y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\-4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{7\left(-4\right)-4\left(-4\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{7}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 16+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}\times 16-\frac{7}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{3}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{20}{3},y=-\frac{23}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+4y=16,-4x-4y=4$$

I wneud 7x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$-4\times 7x-4\times 4y=-4\times 16,7\left(-4\right)x+7\left(-4\right)y=7\times 4$$

Symleiddio.

$$-28x-16y=-64,-28x-28y=28$$

Tynnwch -28x-28y=28 o -28x-16y=-64 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-28x+28x-16y+28y=-64-28$$

Adio -28x at 28x. Mae'r termau -28x a 28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-16y+28y=-64-28$$

Adio -16y at 28y.

$$12y=-64-28$$

Adio -64 at -28.

$$12y=-92$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{3} am y yn -4x-4y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x-4\left(-\frac{23}{3}\right)=4$$

Lluoswch -4 â -\frac{23}{3}.

$$-4x+\frac{92}{3}=4$$

Tynnu \frac{92}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-\frac{80}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=\frac{20}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{20}{3},y=-\frac{23}{3}$$