Datrys {r}{6x+5y=23}{4x+y=13}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 5 y = 23 } \\ { 4 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+5y=23$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-5y+23$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+23\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -5y+23.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

Amnewid \frac{-5y+23}{6} am x yn yr hafaliad arall, 4x+y=13.

$$4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+y=13$$

Lluoswch 4 â \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{46}{3}+y=13$$

Adio -\frac{10y}{3} at y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{46}{3}=13$$

Tynnu \frac{46}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-5+23}{6}$$

Adio \frac{23}{6} at -\frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 4}&-\frac{5}{6-5\times 4}\\-\frac{4}{6-5\times 4}&\frac{6}{6-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 23+\frac{5}{14}\times 13\\\frac{2}{7}\times 23-\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

I wneud 6x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$4\times 6x+4\times 5y=4\times 23,6\times 4x+6y=6\times 13$$

Symleiddio.

$$24x+20y=92,24x+6y=78$$

Tynnwch 24x+6y=78 o 24x+20y=92 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$24x-24x+20y-6y=92-78$$

Adio 24x at -24x. Mae'r termau 24x a -24x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-6y=92-78$$

Adio 20y at -6y.

$$14y=92-78$$

Adio 92 at -78.

$$14y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 14.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 4x+y=13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+1=13$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$