Datrys {r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-4$$

$$y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

Tynnu \frac{2y}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -\frac{2y}{3}-12.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

Amnewid -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} am x yn yr hafaliad arall, -6x-\frac{1}{3}y=20.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

Lluoswch -6 â -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

Adio \frac{4y}{5} at -\frac{y}{3}.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

Tynnu \frac{72}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{15}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{15} â 12.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

Adio -\frac{12}{5} at -\frac{8}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-4,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

I wneud 5x a -6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -6 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

Symleiddio.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

Tynnwch -30x-\frac{5}{3}y=100 o -30x-4y=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

Adio -30x at 30x. Mae'r termau -30x a 30x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

Adio -4y at \frac{5y}{3}.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

Adio 72 at -100.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn -6x-\frac{1}{3}y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 12.

$$-6x-4=20$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=12$$