Datrys {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$32x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$32x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{32} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{32} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

Lluoswch 3 â \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Adio -\frac{9y}{32} at 2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Tynnu \frac{15}{32} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{55}{32}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{445}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{445}{11} am y yn x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Lluoswch -\frac{3}{32} â \frac{445}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Adio \frac{5}{32} at -\frac{1335}{352} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

I wneud 32x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 32.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Symleiddio.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Tynnwch 96x+64y=2240 o 96x+9y=15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Adio 96x at -96x. Mae'r termau 96x a -96x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-64y=15-2240$$

Adio 9y at -64y.

$$-55y=15-2240$$

Adio 15 at -2240.

$$-55y=-2225$$

Rhannu’r ddwy ochr â -55.

$$y=\frac{445}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{445}{11} am y yn 3x+2y=70. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

Lluoswch 2 â \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Tynnu \frac{890}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$