Datrys {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=33$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

Amnewid \frac{-5y+33}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

Adio -\frac{5y}{2} at 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

Tynnu \frac{33}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â 5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

Adio \frac{33}{2} at -\frac{25}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

Symleiddio.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

Tynnwch 2x+6y=38 o 2x+5y=33 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-6y=33-38$$

Adio 5y at -6y.

$$-y=33-38$$

Adio 33 at -38.

$$-y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x+3y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+3\times 5=19$$

Lluoswch 3 â 5.

$$x+15=19$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=5$$