Datrys {l}{x-y=2}{2x-4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x - 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=2,2x-4y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=2$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+2$$

Amnewid y+2 am x yn yr hafaliad arall, 2x-4y=3.

$$2\left(y+2\right)-4y=3$$

Lluoswch 2 â y+2.

$$2y+4-4y=3$$

Adio 2y at -4y.

$$-2y+4=3$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn x=y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}+2$$

Adio 2 at \frac{1}{2}.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=2,2x-4y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-\frac{1}{2}\times 3\\2-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=2,2x-4y=3$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-4y=3$$

Symleiddio.

$$2x-2y=4,2x-4y=3$$

Tynnwch 2x-4y=3 o 2x-2y=4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-2y+4y=4-3$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y+4y=4-3$$

Adio -2y at 4y.

$$2y=4-3$$

Adio 4 at -3.

$$2y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn 2x-4y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-4\times \frac{1}{2}=3$$

Lluoswch -4 â \frac{1}{2}.

$$2x-2=3$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{1}{2}$$