Datrys {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, z

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-29z=15$$

Adio 29z at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=29z+15$$

Amnewid 29z+15 am x yn yr hafaliad arall, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

Lluoswch 4 â 29z+15.

$$116z+60+3z=-2$$

Adio 116z at 3z.

$$119z+60=-2$$

Tynnu 60 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$119z=-62$$

Rhannu’r ddwy ochr â 119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Cyfnewidiwch -\frac{62}{119} am z yn x=29z+15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

Lluoswch 29 â -\frac{62}{119}.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

Adio 15 at -\frac{1798}{119}.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a z.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

Symleiddio.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

Tynnwch 4x+3z=-2 o 4x-116z=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-116z-3z=60+2$$

Adio -116z at -3z.

$$-119z=60+2$$

Adio 60 at 2.

$$-119z=62$$

Rhannu’r ddwy ochr â -119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Cyfnewidiwch -\frac{62}{119} am z yn 4x+3z=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

Lluoswch 3 â -\frac{62}{119}.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

Adio \frac{186}{119} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-\frac{13}{119}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$