Datrys {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=1$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=8$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+8$$

Amnewid -y+8 am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

Lluoswch -1 â -y+8.

$$y-8+2y=1$$

Adio y at 2y.

$$3y-8=1$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3+8$$

Adio 8 at -3.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=1$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=1$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

I wneud x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

Tynnwch -x+2y=1 o -x-y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

Adio -x at x. Mae'r termau -x a x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-y-2y=-8-1$$

Adio -y at -2y.

$$-3y=-8-1$$

Adio -8 at -1.

$$-3y=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn -x+2y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\times 3=1$$

Lluoswch 2 â 3.

$$-x+6=1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$