Datrys {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=17$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+17$$

Amnewid -y+17 am x yn yr hafaliad arall, 2.6x+3.5y=55.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

Lluoswch 2.6 â -y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

Adio -\frac{13y}{5} at \frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

Tynnu 44.2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.9y=10.8$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.9, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn x=-y+17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-12+17$$

Adio 17 at -12.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

I wneud x a \frac{13x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2.6 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

Symleiddio.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

Tynnwch 2.6x+3.5y=55 o 2.6x+2.6y=44.2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

Adio \frac{13x}{5} at -\frac{13x}{5}. Mae'r termau \frac{13x}{5} a -\frac{13x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

Adio \frac{13y}{5} at -\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

Adio 44.2 at -55.

$$-0.9y=-10.8$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.9, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn 2.6x+3.5y=55. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

Lluoswch 3.5 â 12.

$$2.6x+42=55$$

Tynnu 42 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2.6x=13$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 2.6, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=12$$