Datrys {l}{x+y=12}{5x+10y=165}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 12 } \\ { 5 x + 10 y = 165 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-9$$

$$y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=12$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+12$$

Amnewid -y+12 am x yn yr hafaliad arall, 5x+10y=165.

$$5\left(-y+12\right)+10y=165$$

Lluoswch 5 â -y+12.

$$-5y+60+10y=165$$

Adio -5y at 10y.

$$5y+60=165$$

Tynnu 60 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=105$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn x=-y+12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-21+12$$

Adio 12 at -21.

$$x=-9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-9,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-5}&-\frac{1}{10-5}\\-\frac{5}{10-5}&\frac{1}{10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{5}\\-1&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12-\frac{1}{5}\times 165\\-12+\frac{1}{5}\times 165\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\21\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-9,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

I wneud x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5x+5y=5\times 12,5x+10y=165$$

Symleiddio.

$$5x+5y=60,5x+10y=165$$

Tynnwch 5x+10y=165 o 5x+5y=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+5y-10y=60-165$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-10y=60-165$$

Adio 5y at -10y.

$$-5y=60-165$$

Adio 60 at -165.

$$-5y=-105$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn 5x+10y=165. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+10\times 21=165$$

Lluoswch 10 â 21.

$$5x+210=165$$

Tynnu 210 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-9,y=21$$