Datrys {l}{x+3y=4}{-2x+y=-22}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { - 2 x + y = - 22 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=10$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+3y=4$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-3y+4$$

Amnewid -3y+4 am x yn yr hafaliad arall, -2x+y=-22.

$$-2\left(-3y+4\right)+y=-22$$

Lluoswch -2 â -3y+4.

$$6y-8+y=-22$$

Adio 6y at y.

$$7y-8=-22$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-3y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3\left(-2\right)+4$$

Lluoswch -3 â -2.

$$x=6+4$$

Adio 4 at 6.

$$x=10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=10,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4-\frac{3}{7}\left(-22\right)\\\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=10,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

I wneud x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-2x-2\times 3y=-2\times 4,-2x+y=-22$$

Symleiddio.

$$-2x-6y=-8,-2x+y=-22$$

Tynnwch -2x+y=-22 o -2x-6y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-6y-y=-8+22$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-y=-8+22$$

Adio -6y at -y.

$$-7y=-8+22$$

Adio -8 at 22.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn -2x+y=-22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x-2=-22$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=10,y=-2$$