Datrys {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2b at y ddwy ochr.

$$a+2b=15$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2a at y ddwy ochr.

$$2a-5b+2a=15$$

Cyfuno 2a a 2a i gael 4a.

$$4a-5b=15$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$a+2b=15$$

Tynnu 2b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=-2b+15$$

Amnewid -2b+15 am a yn yr hafaliad arall, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Lluoswch 4 â -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Adio -8b at -5b.

$$-13b+60=15$$

Tynnu 60 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-13b=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{45}{13} am b yn a=-2b+15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Lluoswch -2 â \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Adio 15 at -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2b at y ddwy ochr.

$$a+2b=15$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2a at y ddwy ochr.

$$2a-5b+2a=15$$

Cyfuno 2a a 2a i gael 4a.

$$4a-5b=15$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2b at y ddwy ochr.

$$a+2b=15$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 2a at y ddwy ochr.

$$2a-5b+2a=15$$

Cyfuno 2a a 2a i gael 4a.

$$4a-5b=15$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

I wneud a a 4a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Symleiddio.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Tynnwch 4a-5b=15 o 4a+8b=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Adio 4a at -4a. Mae'r termau 4a a -4a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8b+5b=60-15$$

Adio 8b at 5b.

$$13b=60-15$$

Adio 60 at -15.

$$13b=45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{45}{13} am b yn 4a-5b=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Lluoswch -5 â \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Adio \frac{225}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$