Datrys {l}{a+2b=29}{2a+b=17}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 29 } \\ { 2 a + b = 17 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} \approx 13.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$a+2b=29$$

Tynnu 2b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=-2b+29$$

Amnewid -2b+29 am a yn yr hafaliad arall, 2a+b=17.

$$2\left(-2b+29\right)+b=17$$

Lluoswch 2 â -2b+29.

$$-4b+58+b=17$$

Adio -4b at b.

$$-3b+58=17$$

Tynnu 58 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3b=-41$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$b=\frac{41}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{3} am b yn a=-2b+29. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-2\times \frac{41}{3}+29$$

Lluoswch -2 â \frac{41}{3}.

$$a=-\frac{82}{3}+29$$

Adio 29 at -\frac{82}{3}.

$$a=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 29+\frac{2}{3}\times 17\\\frac{2}{3}\times 29-\frac{1}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{41}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

I wneud a a 2a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2a+2\times 2b=2\times 29,2a+b=17$$

Symleiddio.

$$2a+4b=58,2a+b=17$$

Tynnwch 2a+b=17 o 2a+4b=58 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2a-2a+4b-b=58-17$$

Adio 2a at -2a. Mae'r termau 2a a -2a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4b-b=58-17$$

Adio 4b at -b.

$$3b=58-17$$

Adio 58 at -17.

$$3b=41$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$b=\frac{41}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{3} am b yn 2a+b=17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$2a+\frac{41}{3}=17$$

Tynnu \frac{41}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2a=\frac{10}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$a=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$