Datrys {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x+my+3=0$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x+my=-3$$

Tynnu my o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Amnewid -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} am x yn yr hafaliad arall, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Lluoswch m â -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Adio -\frac{m^{2}y}{9} at 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Tynnu -\frac{m}{3}+2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{6+m} am y yn x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{m}{9} â -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

I wneud 9x a mx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â m a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Symleiddio.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Tynnwch 9mx+36y+18=0 o 9mx+m^{2}y+3m=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Adio 9mx at -9mx. Mae'r termau 9mx a -9mx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Adio m^{2}y at -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Tynnu -18+3m o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Rhannu’r ddwy ochr â m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{6+m} am y yn mx+4y+2=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Lluoswch 4 â -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Adio -\frac{12}{6+m} at 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Tynnu \frac{2m}{6+m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x+my+3=0$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x+my=-3$$

Tynnu my o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Amnewid -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} am x yn yr hafaliad arall, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Lluoswch m â -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Adio -\frac{m^{2}y}{9} at 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Tynnu -\frac{m}{3}+2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{6+m} am y yn x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{m}{9} â -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

I wneud 9x a mx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â m a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Symleiddio.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Tynnwch 9mx+36y+18=0 o 9mx+m^{2}y+3m=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Adio 9mx at -9mx. Mae'r termau 9mx a -9mx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Adio m^{2}y at -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Tynnu -18+3m o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Rhannu’r ddwy ochr â m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{6+m} am y yn mx+4y+2=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Lluoswch 4 â -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Adio -\frac{12}{6+m} at 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Tynnu \frac{2m}{6+m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$