Datrys {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+7y=1$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-7y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -7y+1.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

Amnewid \frac{-7y+1}{8} am x yn yr hafaliad arall, 5x+6y=1.

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

Lluoswch 5 â \frac{-7y+1}{8}.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

Adio -\frac{35y}{8} at 6y.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

Tynnu \frac{5}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{8}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{13} am y yn x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

Lluoswch -\frac{7}{8} â \frac{3}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

Adio \frac{1}{8} at -\frac{21}{104} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

I wneud 8x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

Symleiddio.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

Tynnwch 40x+48y=8 o 40x+35y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

Adio 40x at -40x. Mae'r termau 40x a -40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$35y-48y=5-8$$

Adio 35y at -48y.

$$-13y=5-8$$

Adio 5 at -8.

$$-13y=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=\frac{3}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{13} am y yn 5x+6y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

Lluoswch 6 â \frac{3}{13}.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

Tynnu \frac{18}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-\frac{1}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$