Datrys {l}{8x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -3y+5.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

Amnewid \frac{-3y+5}{8} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

Lluoswch 3 â \frac{-3y+5}{8}.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

Adio -\frac{9y}{8} at 2y.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

Tynnu \frac{15}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{8}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{545}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{545}{7} am y yn x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

Lluoswch -\frac{3}{8} â \frac{545}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

Adio \frac{5}{8} at -\frac{1635}{56} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

I wneud 8x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

Symleiddio.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

Tynnwch 24x+16y=560 o 24x+9y=15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

Adio 24x at -24x. Mae'r termau 24x a -24x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-16y=15-560$$

Adio 9y at -16y.

$$-7y=15-560$$

Adio 15 at -560.

$$-7y=-545$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=\frac{545}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{545}{7} am y yn 3x+2y=70. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

Lluoswch 2 â \frac{545}{7}.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

Tynnu \frac{1090}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$