Datrys {l}{7x+5y=20}{x=7quady=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 20 } \\ { x = 7 \quad y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{70}{27} = 2\frac{16}{27} \approx 2.592592593$$

$$y=\frac{10}{27}\approx 0.37037037$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$x-7y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+5y=20$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-5y+20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+20\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -5y+20.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}$$

Amnewid \frac{-5y+20}{7} am x yn yr hafaliad arall, x-7y=0.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}-7y=0$$

Adio -\frac{5y}{7} at -7y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{20}{7}=0$$

Tynnu \frac{20}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{20}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{54}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{10}{27}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{27} am y yn x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{10}{27}+\frac{20}{7}$$

Lluoswch -\frac{5}{7} â \frac{10}{27} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{50}{189}+\frac{20}{7}$$

Adio \frac{20}{7} at -\frac{50}{189} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{70}{27}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$x-7y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-5}&-\frac{5}{7\left(-7\right)-5}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-5}&\frac{7}{7\left(-7\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{54}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}\times 20\\\frac{1}{54}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{27}\\\frac{10}{27}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$x-7y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

I wneud 7x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$7x+5y=20,7x+7\left(-7\right)y=0$$

Symleiddio.

$$7x+5y=20,7x-49y=0$$

Tynnwch 7x-49y=0 o 7x+5y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7x-7x+5y+49y=20$$

Adio 7x at -7x. Mae'r termau 7x a -7x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y+49y=20$$

Adio 5y at 49y.

$$54y=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 54.

$$y=\frac{10}{27}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{27} am y yn x-7y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-7\times \frac{10}{27}=0$$

Lluoswch -7 â \frac{10}{27}.

$$x-\frac{70}{27}=0$$

Adio \frac{70}{27} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{70}{27}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$