Datrys {l}{53x+22y=400}{10y+x=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 53 x + 22 y = 400 } \\ { 10 y + x = 60 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{670}{127} = 5\frac{35}{127} \approx 5.275590551$$

$$y = \frac{695}{127} = 5\frac{60}{127} \approx 5.472440945$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$53x+22y=400$$

Tynnu 22y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$53x=-22y+400$$

Rhannu’r ddwy ochr â 53.

$$x=\frac{1}{53}\left(-22y+400\right)$$

Lluoswch \frac{1}{53} â -22y+400.

$$x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}$$

Amnewid \frac{-22y+400}{53} am x yn yr hafaliad arall, x+10y=60.

$$-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}+10y=60$$

Adio -\frac{22y}{53} at 10y.

$$\frac{508}{53}y+\frac{400}{53}=60$$

Tynnu \frac{400}{53} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{508}{53}y=\frac{2780}{53}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{508}{53}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{695}{127}$$

Cyfnewidiwch \frac{695}{127} am y yn x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{22}{53}\times \frac{695}{127}+\frac{400}{53}$$

Lluoswch -\frac{22}{53} â \frac{695}{127} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{15290}{6731}+\frac{400}{53}$$

Adio \frac{400}{53} at -\frac{15290}{6731} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{670}{127}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{53\times 10-22}&-\frac{22}{53\times 10-22}\\-\frac{1}{53\times 10-22}&\frac{53}{53\times 10-22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}&-\frac{11}{254}\\-\frac{1}{508}&\frac{53}{508}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}\times 400-\frac{11}{254}\times 60\\-\frac{1}{508}\times 400+\frac{53}{508}\times 60\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{670}{127}\\\frac{695}{127}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

I wneud 53x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 53.

$$53x+22y=400,53x+53\times 10y=53\times 60$$

Symleiddio.

$$53x+22y=400,53x+530y=3180$$

Tynnwch 53x+530y=3180 o 53x+22y=400 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$53x-53x+22y-530y=400-3180$$

Adio 53x at -53x. Mae'r termau 53x a -53x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$22y-530y=400-3180$$

Adio 22y at -530y.

$$-508y=400-3180$$

Adio 400 at -3180.

$$-508y=-2780$$

Rhannu’r ddwy ochr â -508.

$$y=\frac{695}{127}$$

Cyfnewidiwch \frac{695}{127} am y yn x+10y=60. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+10\times \frac{695}{127}=60$$

Lluoswch 10 â \frac{695}{127}.

$$x+\frac{6950}{127}=60$$

Tynnu \frac{6950}{127} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{670}{127}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$