Datrys {l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+y=7$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Amnewid \frac{-y+7}{5} am x yn yr hafaliad arall, -3x+7y=11.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

Lluoswch -3 â \frac{-y+7}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

Adio \frac{3y}{5} at 7y.

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

Adio \frac{21}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{38}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â 2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Adio \frac{7}{5} at -\frac{2}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

I wneud 5x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

Symleiddio.

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

Tynnwch -15x+35y=55 o -15x-3y=-21 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-35y=-21-55$$

Adio -3y at -35y.

$$-38y=-21-55$$

Adio -21 at -55.

$$-38y=-76$$

Rhannu’r ddwy ochr â -38.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn -3x+7y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+7\times 2=11$$

Lluoswch 7 â 2.

$$-3x+14=11$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$