Datrys {l}{5x+7y=71}{8x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 71 } \\ { 8 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{283}{71} = 3\frac{70}{71} \approx 3.985915493$$

$$y = \frac{518}{71} = 7\frac{21}{71} \approx 7.295774648$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+7y=71$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-7y+71$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+71\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -7y+71.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}$$

Amnewid \frac{-7y+71}{5} am x yn yr hafaliad arall, 8x-3y=10.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}\right)-3y=10$$

Lluoswch 8 â \frac{-7y+71}{5}.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{568}{5}-3y=10$$

Adio -\frac{56y}{5} at -3y.

$$-\frac{71}{5}y+\frac{568}{5}=10$$

Tynnu \frac{568}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{71}{5}y=-\frac{518}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{71}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{518}{71}$$

Cyfnewidiwch \frac{518}{71} am y yn x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{518}{71}+\frac{71}{5}$$

Lluoswch -\frac{7}{5} â \frac{518}{71} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{3626}{355}+\frac{71}{5}$$

Adio \frac{71}{5} at -\frac{3626}{355} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{283}{71}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-7\times 8}&-\frac{7}{5\left(-3\right)-7\times 8}\\-\frac{8}{5\left(-3\right)-7\times 8}&\frac{5}{5\left(-3\right)-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}&\frac{7}{71}\\\frac{8}{71}&-\frac{5}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}\times 71+\frac{7}{71}\times 10\\\frac{8}{71}\times 71-\frac{5}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{283}{71}\\\frac{518}{71}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

I wneud 5x a 8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 8 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 71,5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

Symleiddio.

$$40x+56y=568,40x-15y=50$$

Tynnwch 40x-15y=50 o 40x+56y=568 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$40x-40x+56y+15y=568-50$$

Adio 40x at -40x. Mae'r termau 40x a -40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$56y+15y=568-50$$

Adio 56y at 15y.

$$71y=568-50$$

Adio 568 at -50.

$$71y=518$$

Rhannu’r ddwy ochr â 71.

$$y=\frac{518}{71}$$

Cyfnewidiwch \frac{518}{71} am y yn 8x-3y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$8x-3\times \frac{518}{71}=10$$

Lluoswch -3 â \frac{518}{71}.

$$8x-\frac{1554}{71}=10$$

Adio \frac{1554}{71} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=\frac{2264}{71}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{283}{71}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$