Datrys {l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=460$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+460$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+460.

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

Amnewid -\frac{3y}{5}+92 am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

Lluoswch 3 â -\frac{3y}{5}+92.

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

Adio -\frac{9y}{5} at 4y.

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

Tynnu 276 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{5}y=637$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3185}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{3185}{11} am y yn x=-\frac{3}{5}y+92. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â \frac{3185}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

Adio 92 at -\frac{1911}{11}.

$$x=-\frac{899}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

Symleiddio.

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

Tynnwch 15x+20y=4565 o 15x+9y=1380 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-20y=1380-4565$$

Adio 9y at -20y.

$$-11y=1380-4565$$

Adio 1380 at -4565.

$$-11y=-3185$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=\frac{3185}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{3185}{11} am y yn 3x+4y=913. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

Lluoswch 4 â \frac{3185}{11}.

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

Tynnu \frac{12740}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{899}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$