Datrys {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=450$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+450$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Amnewid -\frac{3y}{5}+90 am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Lluoswch 3 â -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Adio -\frac{9y}{5} at 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Tynnu 270 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=65$$

Cyfnewidiwch 65 am y yn x=-\frac{3}{5}y+90. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â 65.

$$x=-39+90$$

Adio 90 at -39.

$$x=51$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=51,y=65$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=51,y=65$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Symleiddio.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Tynnwch 15x+20y=2065 o 15x+9y=1350 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-20y=1350-2065$$

Adio 9y at -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Adio 1350 at -2065.

$$-11y=-715$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=65$$

Cyfnewidiwch 65 am y yn 3x+4y=413. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\times 65=413$$

Lluoswch 4 â 65.

$$3x+260=413$$

Tynnu 260 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=153$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=51$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=51,y=65$$