Datrys {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y-2=0$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x+3y=2$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Amnewid \frac{-3y+2}{5} am x yn yr hafaliad arall, x+y=10.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

Adio -\frac{3y}{5} at y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

Tynnu \frac{2}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=24$$

Cyfnewidiwch 24 am y yn x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â 24.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Adio \frac{2}{5} at -\frac{72}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-14,y=24$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-14,y=24$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

I wneud 5x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Symleiddio.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

Tynnwch 5x+5y=50 o 5x+3y-2=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-5y-2=-50$$

Adio 3y at -5y.

$$-2y-2=-50$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=24$$

Cyfnewidiwch 24 am y yn x+y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+24=10$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-14,y=24$$