Datrys {l}{4y+3x=8}{3x-9y=-77}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 3 x = 8 } \\ { 3 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = -\frac{236}{39} = -6\frac{2}{39} \approx -6.051282051$$

$$y = \frac{85}{13} = 6\frac{7}{13} \approx 6.538461538$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4y+3x=8$$

Tynnu 3x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=-3x+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-3x+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3x+8.

$$y=-\frac{3}{4}x+2$$

Amnewid -\frac{3x}{4}+2 am y yn yr hafaliad arall, -9y+3x=-77.

$$-9\left(-\frac{3}{4}x+2\right)+3x=-77$$

Lluoswch -9 â -\frac{3x}{4}+2.

$$\frac{27}{4}x-18+3x=-77$$

Adio \frac{27x}{4} at 3x.

$$\frac{39}{4}x-18=-77$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{39}{4}x=-59$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{39}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{236}{39}$$

Cyfnewidiwch -\frac{236}{39} am x yn y=-\frac{3}{4}x+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{236}{39}\right)+2$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -\frac{236}{39} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{59}{13}+2$$

Adio 2 at \frac{59}{13}.

$$y=\frac{85}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\times 3-3\left(-9\right)}&\frac{4}{4\times 3-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-77\right)\\\frac{3}{13}\times 8+\frac{4}{39}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{13}\\-\frac{236}{39}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Tynnwch -9y+3x=-77 o 4y+3x=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4y+9y+3x-3x=8+77$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+9y=8+77$$

Adio 4y at 9y.

$$13y=8+77$$

Adio 8 at 77.

$$13y=85$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=\frac{85}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{85}{13} am y yn -9y+3x=-77. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-9\times \frac{85}{13}+3x=-77$$

Lluoswch -9 â \frac{85}{13}.

$$-\frac{765}{13}+3x=-77$$

Adio \frac{765}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{236}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{236}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$