Datrys {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-7y=23$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=7y+23$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

Amnewid \frac{7y+23}{4} am x yn yr hafaliad arall, 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

Lluoswch 6 â \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

Adio \frac{21y}{2} at 2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

Tynnu \frac{69}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{25}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

Lluoswch \frac{7}{4} â -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

Adio \frac{23}{4} at -\frac{21}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

I wneud 4x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

Tynnwch 24x+8y=-12 o 24x-42y=138 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

Adio 24x at -24x. Mae'r termau 24x a -24x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-42y-8y=138+12$$

Adio -42y at -8y.

$$-50y=138+12$$

Adio 138 at 12.

$$-50y=150$$

Rhannu’r ddwy ochr â -50.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 6x+2y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

Lluoswch 2 â -3.

$$6x-6=-3$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$