Datrys {l}{4x+y=2}{x-4y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 2 } \\ { x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{15}{17}\approx 0.882352941$$

$$y = -\frac{26}{17} = -1\frac{9}{17} \approx -1.529411765$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=2$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y+2.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid -\frac{y}{4}+\frac{1}{2} am x yn yr hafaliad arall, x-4y=7.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}-4y=7$$

Adio -\frac{y}{4} at -4y.

$$-\frac{17}{4}y+\frac{1}{2}=7$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{4}y=\frac{13}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{26}{17} am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{26}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -\frac{26}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{13}{34}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at \frac{13}{34} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-4\right)-1}&\frac{4}{4\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 2+\frac{1}{17}\times 7\\\frac{1}{17}\times 2-\frac{4}{17}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{17}\\-\frac{26}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=2,x-4y=7$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x+y=2,4x+4\left(-4\right)y=4\times 7$$

Symleiddio.

$$4x+y=2,4x-16y=28$$

Tynnwch 4x-16y=28 o 4x+y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+y+16y=2-28$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y+16y=2-28$$

Adio y at 16y.

$$17y=2-28$$

Adio 2 at -28.

$$17y=-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{26}{17} am y yn x-4y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-4\left(-\frac{26}{17}\right)=7$$

Lluoswch -4 â -\frac{26}{17}.

$$x+\frac{104}{17}=7$$

Tynnu \frac{104}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{15}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{17},y=-\frac{26}{17}$$