Datrys {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=-7$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Amnewid \frac{-y-7}{4} am x yn yr hafaliad arall, 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

Lluoswch 2 â \frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

Adio -\frac{y}{2} at 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Adio \frac{7}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{15}{11} am y yn x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -\frac{15}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Adio -\frac{7}{4} at \frac{15}{44} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

I wneud 4x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Symleiddio.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Tynnwch 8x+24y=-44 o 8x+2y=-14 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-24y=-14+44$$

Adio 2y at -24y.

$$-22y=-14+44$$

Adio -14 at 44.

$$-22y=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{15}{11} am y yn 2x+6y=-11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

Lluoswch 6 â -\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Adio \frac{90}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$