Datrys {l}{3x-5y=3}{4x+2y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { 4 x + 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-5y=3$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=5y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 5y+3.

$$x=\frac{5}{3}y+1$$

Amnewid \frac{5y}{3}+1 am x yn yr hafaliad arall, 4x+2y=6.

$$4\left(\frac{5}{3}y+1\right)+2y=6$$

Lluoswch 4 â \frac{5y}{3}+1.

$$\frac{20}{3}y+4+2y=6$$

Adio \frac{20y}{3} at 2y.

$$\frac{26}{3}y+4=6$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{26}{3}y=2$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{26}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{13} am y yn x=\frac{5}{3}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\times \frac{3}{13}+1$$

Lluoswch \frac{5}{3} â \frac{3}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{13}+1$$

Adio 1 at \frac{5}{13}.

$$x=\frac{18}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 3+\frac{5}{26}\times 6\\-\frac{2}{13}\times 3+\frac{3}{26}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 3,3\times 4x+3\times 2y=3\times 6$$

Symleiddio.

$$12x-20y=12,12x+6y=18$$

Tynnwch 12x+6y=18 o 12x-20y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-20y-6y=12-18$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-20y-6y=12-18$$

Adio -20y at -6y.

$$-26y=12-18$$

Adio 12 at -18.

$$-26y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -26.

$$y=\frac{3}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{13} am y yn 4x+2y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+2\times \frac{3}{13}=6$$

Lluoswch 2 â \frac{3}{13}.

$$4x+\frac{6}{13}=6$$

Tynnu \frac{6}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{72}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{18}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$