Datrys {l}{3x=y+5}{5x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = y + 5 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x-y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=5$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{5+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 5x-y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=11$$

Lluoswch 5 â \frac{5+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}-y=11$$

Adio \frac{5y}{3} at -y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{25}{3}=11$$

Tynnu \frac{25}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}y=\frac{8}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x-y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 11\\-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x-y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Tynnwch 5x-y=11 o 3x-y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-5x-y+y=5-11$$

Adio -y at y. Mae'r termau -y a y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x-5x=5-11$$

Adio 3x at -5x.

$$-2x=5-11$$

Adio 5 at -11.

$$-2x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn 5x-y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$5\times 3-y=11$$

Lluoswch 5 â 3.

$$15-y=11$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=4$$