Datrys {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=21$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Amnewid -\frac{5y}{3}+7 am x yn yr hafaliad arall, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

Lluoswch 5 â -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

Adio -\frac{25y}{3} at 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Tynnu 35 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{93}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{93}{19} am y yn x=-\frac{5}{3}y+7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â \frac{93}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

Adio 7 at -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

I wneud 3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Symleiddio.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Tynnwch 15x+6y=12 o 15x+25y=105 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$25y-6y=105-12$$

Adio 25y at -6y.

$$19y=105-12$$

Adio 105 at -12.

$$19y=93$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=\frac{93}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{93}{19} am y yn 5x+2y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

Lluoswch 2 â \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Tynnu \frac{186}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$