Datrys {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y-7=0$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x+y=7$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Amnewid \frac{-y+7}{2} am x yn yr hafaliad arall, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Lluoswch 17 â \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Adio -\frac{17y}{2} at -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Adio \frac{119}{2} at -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Tynnu \frac{103}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{39}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{103}{39}$$

Cyfnewidiwch \frac{103}{39} am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â \frac{103}{39} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Adio \frac{7}{2} at -\frac{103}{78} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{85}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

I wneud 2x a 17x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 17 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Symleiddio.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Tynnwch 34x-22y-16=0 o 34x+17y-119=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Adio 34x at -34x. Mae'r termau 34x a -34x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$17y+22y-119+16=0$$

Adio 17y at 22y.

$$39y-119+16=0$$

Adio -119 at 16.

$$39y-103=0$$

Adio 103 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$39y=103$$

Rhannu’r ddwy ochr â 39.

$$y=\frac{103}{39}$$

Cyfnewidiwch \frac{103}{39} am y yn 17x-11y-8=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Lluoswch -11 â \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Adio -\frac{1133}{39} at -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Adio \frac{1445}{39} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$x=\frac{85}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$