Datrys {l}{2x+y=6}{6x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=6$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Amnewid -\frac{y}{2}+3 am x yn yr hafaliad arall, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

Lluoswch 6 â -\frac{y}{2}+3.

$$-3y+18-y=2$$

Adio -3y at -y.

$$-4y+18=2$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-\frac{1}{2}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 4.

$$x=-2+3$$

Adio 3 at -2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

I wneud 2x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Symleiddio.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

Tynnwch 12x-2y=4 o 12x+6y=36 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+2y=36-4$$

Adio 6y at 2y.

$$8y=36-4$$

Adio 36 at -4.

$$8y=32$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 6x-y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-4=2$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$