Datrys {l}{2x+y=6}{4x+3y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x + 3 y = 44 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-13$$

$$y=32$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=6,4x+3y=44$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=6$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Amnewid -\frac{y}{2}+3 am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=44.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+3y=44$$

Lluoswch 4 â -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12+3y=44$$

Adio -2y at 3y.

$$y+12=44$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=32$$

Cyfnewidiwch 32 am y yn x=-\frac{1}{2}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 32+3$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 32.

$$x=-16+3$$

Adio 3 at -16.

$$x=-13$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-13,y=32$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=6,4x+3y=44$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4}&-\frac{1}{2\times 3-4}\\-\frac{4}{2\times 3-4}&\frac{2}{2\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\44\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{2}\times 44\\-2\times 6+44\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-13,y=32$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=6,4x+3y=44$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\times 3y=2\times 44$$

Symleiddio.

$$8x+4y=24,8x+6y=88$$

Tynnwch 8x+6y=88 o 8x+4y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+4y-6y=24-88$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-6y=24-88$$

Adio 4y at -6y.

$$-2y=24-88$$

Adio 24 at -88.

$$-2y=-64$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=32$$

Cyfnewidiwch 32 am y yn 4x+3y=44. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\times 32=44$$

Lluoswch 3 â 32.

$$4x+96=44$$

Tynnu 96 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-52$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-13$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-13,y=32$$